Question

已知函數y=sin2x+asinx-acosx-

1

2

a-1 (-

π

4

≤x≤

π

2

)的最大值為2，求實數a的值．

Answer 1

分析：令sinx-cosx=t，則-

2

≤t≤1，y=-(t-

a

2

)2+

a2

4

-

1

2

a，討論對稱軸t=

a

2

與區間[-

2

，1]的關系，分對稱軸在區間[-

2

，1]的左側、中間、在右側三種情況分別求出a的值，最后取并集即得a的所有值．

解答：解：令sinx-cosx=t，則sin2x=1-t² ．（1分）
∴y=1-t2+at-

1

2

a-1=-t2+at-

1

2

a=-(t-

a

2

)2+

a2

4

-

1

2

a．（2分）
∵t=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，由-

π

4

≤x≤

π

2

 得 -

π

2

≤x-

π

4

≤

π

4

，∴-

2

≤t≤1．（3分）
①當

a

2

＜-

2

，即 a＜-2

2

 時，在 t=-

2

 處 ymax=-(

2

+

1

2

)a-2，
由-(

2

+

1

2

)a-2=2 解得 a=-

8

2 2 +1

=-

8

7

(2

2

-1)＞-2

2

．（舍）（6分）
②當-

2

≤

a

2

≤1，即 -2

2

≤a≤2 時，ymax=

a2

4

-

1

2

a．
由

a2

4

-

1

2

a=2 得 a2-2a-8=0  解得  a=-2 或 a=4．（舍）（9分）
③當

a

2

＞1，即a＞2時，在t=1處ymax=

a

2

-1，由 

a

2

-1=2得a=6．
因此，a=-2 或a=6．（12分）

點評：本題主要考查兩角差的正弦公式，二次函數的最值的求法，體現了分類討論的數學思想，注意t的取值范圍，這是解題的易錯點．