Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點C、F，連接CF并延長交AB于點E．
 
(Ⅰ)求證：E是AB的中點。
(Ⅱ)求線段BF的長．

Answer 1

(Ⅰ) 見解析；(Ⅱ)a

解析試題分析：(Ⅰ) 由以D為圓心DA為半徑作圓，而ABCD為正方形，所以DA⊥AE，所以EA為圓D的切線，依據切割線定理，得EA²=EF•EC，又圓O以BC為直徑，所以OB⊥BE，所以EB是圓O的切線，同樣依據切割線定理得EB²=EF•EC，故AE=EB，E是AB中點．
(Ⅱ)根據兩個角對應相等，得到兩個三角形相似，得到對應邊成比例，根據所給的長度，代入比例式，得到要求的線段。
試題解析：(Ⅰ)由以D為圓心DA為半徑作圓，而ABCD為正方形，∴EA為圓D的切線，
依據切割線定理，得EA²=EF•EC （2分）
另外圓O以BC為直徑，∴EB是圓O的切線，
同樣依據切割線定理得EB²=EF•EC （4分）
故AE=EB，故E是AB中點 （5分）
 
(Ⅱ)連接BF，∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB
∴△FEB∽△BEC，得，
∵ABCD是邊長為a的正方形，
所以BF＝a              （10分）
考點：切割線定理，三角形相似的判定與性質，弦切角定理