Question

一個圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分．現要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形（如圖所示，其中O為圓心，在半圓上），設，木梁的體積為V（單位：m³），表面積為S（單位：m²）．

（1）求V關于θ的函數表達式；
（2）求的值，使體積V最大；
（3）問當木梁的體積V最大時，其表面積S是否也最大？請說明理由．

Answer 1

(1)；(2)；（3）是.

解析試題分析：（1）本題求直四棱柱的體積，關鍵是求底面面積，我們要用底面半徑1和表示出等腰梯形的上底和高，從圖形中可知高為，而，因此面積易求，體積也可得出；（2）我們在（1）中求出，這里的最大值可利用導數知識求解，求出，解出方程在上的解，然后考察在解的兩邊的正負性，確定是最大值點，實質上對應用題來講，導數值為0的那個唯一點就是要求的極值點）；（3），上（2）我們可能把木梁的表面積用表示出來，，由于在體積中出現，因此我們可求的最大值，這里可不用導數來求，因為
，可借助二次函數知識求得最大值，如果這里取最大值時的和取最大值的取值相同，則結論就是肯定的.
試題解析：（1）梯形的面積
=，．       2分
體積．       3分
（2）．
令，得，或（舍）．
∵，∴．       5分
當時，，為增函數；
當時，，為減函數．       7分
∴當時，體積V最大．       8分
（3）木梁的側面積=，．
=，．       10分
設，．∵，
∴當，即時，最大．       12分
又由（2）知時，取得最大值，
所以時，木梁的表面積S最大．       13分
綜上，當木梁的體積V最大時，其表面積S也最大．       14分
考點：（1）函數解析式；（2）用導數求最值；（3）四棱柱的表面積及其最值.