Question

已知函數，其中為常數，設為自然對數的底數．
（1）當時，求的最大值；
（2）若在區間上的最大值為，求的值．

Answer 1

(1)      (2)

試題分析：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），當a=-1時，f（x）=lnx-x，f′（x）=-1=令f′（x）＞0得，0＜x＜1，令f′（x）＜0得，x＞1或x＜0，∴函數f（x）增區間為（0，1），減區間為（1，+∞）；
（2）f′（x）=
①當a>0時，x＞0，∴f′（x）＞0，∴函數f（x）在（0．e]上是增函數，
∴f（x）_max=f（e）=2，∴a+1=2,∴a=e符號題意；
②當a<0時，令f′（x）=0得x=-，
1°若0＜-≤e，即-≤a＜0時
∴f（x）_max=f（-a）=2
∴-1+ln（-a）=2，
∴a=-e²不符號題意，舍去；
2°若-a＞e，即a＜-e時，在（0，e]上f′（x）＞0．∴f（x）在（0．e]上是增函數，故f（x）_max=f（）=2∴a=不符號題意，舍去；故a=
點評：考查利用導數的方法研究函數的單調性、極值、最值和分類討論的思想方法，注意函數的定義域；屬難題