Question

已知函數，函數f（x）的反函數為f^-1（x）．
（I）求函數f^-1（x）的解析式及定義域；
（II）若函數g（x）=4f^-1（x）-4（k+2）x+k²-2k+2在[0，2]上的最小值為3，求實數k的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）從條件中先求得函數式f（x），y=f（x）中反解出x，再將x，y互換即得．
（II）先化簡寫出函數f（x）=4x²-4kx+k²-2k+2在區間[0，2]上有最小值3，對函數進行配方，對對稱軸是否在區間內進行討論，從而可知函數在何處取得最小值，解出相應的a的值．
解答：解：（I）∵函數，∴，
∴函數f^-1（x）的解析式為：y=（x+1）²-1，（x≥0）．
（II）解：函數g（x）的對稱軸為 x=
①當 即k≤0時g_min（x）=g（0）=k²-2k+2=3解得k=1±
k≤0∴k=1-．
②當0＜＜2即0＜k＜4時 g（x）的最小值g（）=-2k+2=3解得 k=-
∵0＜k＜4故 k=-不合題意
③當 即k≥4時g_min（x）=g（2）=k²-10k+18=3解得 k=5
∵k≥4∴k=5+．
綜上：k=1-．或 5+．
點評：考查反函數、二次函數在閉區間上的最值問題中的動軸定區間上的最值問題，體現了分類討論和運動變化的思想方法，屬中檔題．