Question

已知

m

=(cos(x+

2π

3

)，cos

x

2

)，

n

=(1，2cos

x

2

)．
（I）設函數g（x）=

m

•

n

，將函數g（x）的圖象向右平移

π

6

單位，再將所得圖象上的所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的

1

2

，得到函數f（x），求函數f（x）的單調減區間；
（II）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若B為銳角，且f(B)=1，b=1，c=

3

，求a．

Answer 1

分析：（I）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，第一項利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的余弦函數公式化為一個角的余弦函數，然后由“左加右減”規律，得到將函數g（x）的圖象向右平移

π

6

單位的解析式，再將x化為2x，確定出f（x）解析式，由余弦函數的單調減區間為[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，列出關于x的不等式，求出不等式的解集得到f（x）的減區間；
（II）由第一問確定的f（x）解析式及f（B）=1，得到cos（2B+

π

6

）=0，由B為銳角，得到2B+

π

6

的范圍，利用余弦函數的圖象及特殊角的三角函數值求出B的度數，進而確定出cosB的值，再由b與c的值，利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（I）g（x）=

m

•

n

=cos（x+

2π

3

）+2cos²

x

2

=-

1

2

cosx+

3

2

sinx+cosx+1
=

1

2

cosx+

3

2

sinx+1
=cos（x+

π

3

）+1，
由題意得：f（x）=cos（2x+

π

3

-

π

6

）+1=cos（2x+

π

6

）+1，
令2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+π，k∈Z，解得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
則f（x）的單調減區間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z；
（II）由f（B）=cos（2B+

π

6

）+1=1，得到cos（2B+

π

6

）=0，
∵0＜B＜

π

2

，∴

π

6

＜2B+

π

6

＜

7π

6

，
∴2B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

6

，又b=1，c=

3

，
則由余弦定理得：b²=a²+c²-2ac•cosB，即1=a²+3-3a，
整理得：（a-1）（a-2）=0，
解得：a=1或a=2．

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數量積運算，兩角和與差的余弦函數公式，余弦函數的單調性，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．