Question

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，以其兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為4的正方形，設P為該橢圓上的動點，C、D的坐標分別是（-

2

，0），（

2

，0），則PC•PD的最大值為（　　）

• A、4
• B、2

  2

• C、3
• D、2

  2

  +2

Answer 1

分析：利用正方形的面積求出橢圓的焦距、長軸長；利用橢圓的大定義求出P到兩焦點的距離，代入PC•PD轉化成二次函數(shù)最值，利用二次函數(shù)求出最值．

解答：解：設左右焦點為F₁、F₂，上頂點為A，正方形邊長=2，
∴|AF₁|=|AF₂|=2，|F₁F₂|=2

2

，
c=

2

，
則C、D是橢圓的左右焦點，C是F₁，D是F₂，
根據(jù)橢圓定義，|AF₁|+|AF₂|=2+2=4=2a，
a是長半軸長，
a=2，
|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
|PF₁|•|PF₂|=|PF₁|•（4-|PF₁|），
設|PF₁|=x，
|PC|•|PD|=x（4-x）=-x²+4x═-（x-2）²+4
當x=2時．其乘積最大值為4．
當P在短軸頂點時，最大．

點評：本題考查橢圓的定義、等價轉化的能力、二次函數(shù)最值的求法，考查運算能力，屬中檔題．