Question

【題目】如圖，正方體的棱長為2，P為BC的中點，Q為線段上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是______（寫出所有正確命題的編號）．

①當時，S為四邊形；②當時，S為等腰梯形；③當時，S與的交點R滿足；④當時，S為五邊形；⑤當時，S的面積為．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

利用空間幾何元素的位置關系和截面的性質逐一分析推理判斷每一個命題的真假得解.

對于①，由圖1知，

當點Q向C移動時，滿足0＜CQ＜1，只需在DD1上取點M，且滿足AM∥PQ，

則截面圖形為四邊形APQM，∴①正確；

對于②，當CQ=1時，即Q為CC1中點，此時可得PQ∥AD1，AP=QD1=，

可得截面APQD1為等腰梯形，∴②正確；

對于③，當CQ=時，如圖2所示，

延長DD1至N，使D1N=1，連接AN交A1D1于S，連接NQ交C1D1于R，連接SR，

可證AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，可得C1R=，D1R=，∴③錯誤；

對于④，當時，只需點Q上移，此時的截面形狀仍然上圖所示的APQRS，是五邊形，④正確；

對于⑤，當CQ=2時，Q與C1重合，取A1D1的中點F，連接AF，可證PC1∥AF，且PC1=AF，

可知截面為APC1F為菱形，且面積為AC1PF=2，⑤錯誤；

綜上可得：正確命題的序號為①②④．

故答案為：①②④．