Question

【題目】設(shè)，函數(shù)，函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】分析：（1）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式不能恒成立，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，因?yàn)?/span>，又易知在是減函數(shù),所以當(dāng)時(shí)，,從而可得結(jié)果.

詳解：（1）函數(shù)的定義域是，，

當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù).

（2）令，

所以

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，

所以在上是增函數(shù)，又因?yàn)?/span>

所以關(guān)于的不等式不能恒成立

當(dāng)時(shí)，

令，得

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).

故函數(shù)的最大值為

令（），因?yàn)?/span>，

又易知在是減函數(shù)

所以當(dāng)時(shí)，

所以整數(shù)的最小值為2.