Question

函數與函數g（x）=3a²lnx+b．
（I）設曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在公共點處的切線相同，且f（x）在x=-2e（e是自然對數的底數）時取得極值，求a、b的值；
（II）若函數g（x）的圖象過點（1，0）且函數h（x）=f（x）+g（x）-（2a+6）x在（0，4）上為單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）求導函數可得
∵f（x）在x=-2e（e是自然對數的底數）時取得極值
∴f′（-2e）=0
∴a=e
∴
∵曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在公共點（x₀，y₀）處的切線相同，
∴
∴x₀=e或x₀=-3e（舍去），b=-
∴a=e，b=-；
（II）∵函數g（x）的圖象過點（1，0），∴b=0
∵h（x）=f（x）+g（x）-（2a+6）x=
∴h′（x）=x+
∵h（x）在（0，4）上為單調函數，
∴h′（x）=x+≤0或h′（x）=x+≥0在（0，4）上恒成立
當h′（x）=x+≤0在（0，4）上恒成立時，3a²≤-x²+6x在（0，4）上恒成立，∴a=0
當h′（x）=x+≥0在（0，4）上恒成立時，3a²≥-x²+6x在（0，4）上恒成立
∵y=-x²+6x在（0，4）上的最大值為9
∴a≥或
∴a的取值范圍為{0}
分析：（I）求導函數，利用f（x）在x=-2e（e是自然對數的底數）時取得極值，可求得a=e，利用曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在公共點（x₀，y₀）處的切線相同，建立方程組，可求b=-；
（II）先確定b，再利用h（x）在（0，4）上為單調函數，得出導函數小于等于0或大于大于0，利用分離參數法，即可求得結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．