Question

（2008•湖北模擬）已知f（x）=x³+bx²+cx+2．
（Ⅰ）若f（x）在x=1時有極值-1，求b、c的值；
（Ⅱ）若函數y=x²+x-5的圖象與函數y=

k-2

x

的圖象恰有三個不同的交點，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）記函數|f'（x）|（-1≤x≤1）的最大值為M，求證：M≥

3

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）在x=1時，有極值-1，可得

3+2b+c=0 1+b+c=2

，解得b=1，c=-5，要注意驗證．
（Ⅱ）將圖象恰有三個不同的交點，轉化為方程：x2+x-5=

k-2

x

恰有三個不同的解，進一步轉化為x³+x²-5x+2=k（x≠0），f（x）的圖象與直線y=k恰有三個不同的交點，求出函數的極值可解；
（Ⅲ）|f′（x）|=|3（x+

b

3

）²+c|，由二次函數最值求法去討論求解．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2bx+c，由題知f′（1）=0⇒3+2b+c=0，f′（1）=-1⇒1+b+c+2=-1
∴b=1，c=-5（2分）f（x）=x³+x²-5x+2，f′（x）=3x²+2x-5f（x）在(-

5

3

，1)為減函數，f（x）在（1，+∞）為增函數∴b=1，c=-5符合題意．（3分）
（Ⅱ）即方程：x2+x-5=

k-2

x

恰有三個不同的解：x³+x²-5x+2=k（x≠0）
即當x≠0時，f（x）的圖象與直線y=k恰有三個不同的交點，
由（1）知f（x）在(-∞，-

5

3

)為增函數，f（x）在(-

5

3

，1)為減函數，f（x）在（1，+∞）為增函數，
又f(-

5

3

)=

229

27

，f（1）=-1，f（0）=2
∴-1＜k＜

229

27

且k≠2（8分）
（Ⅲ）|f′(x)|=|3x2+2bx+c|=|3(x+

b

3

)2+c-

b2

3

|
①當|-

b

3

|≥1即|b|≥3時，M為|f′（1）|與|f′（-1）|中較大的一個
2M≥|3+2b+c|+|3-2b+c|≥|3+2b+c-（3-2b+c）|=|4b|≥12
∴2M≥6，M≥3，滿足M≥

3

2

②當|-

b

3

|≤1即-3≤b≤3時，M為|f′(1)|，|f′(-1)|，|f′(-

b

3

)|中較大的一個4M≥|f′(1)|+|f′(-1)|+|f′(-

b

3

)|+|f′(-

b

3

)|=|3+2b+c|+|3-2b+c|+2|c-

b2

3

|≥|3+2b+c+3-2b+c-2c+

2b2

3

|=|6+

2

3

b2|≥6
∴M≥

3

2

綜合①②可知M≥

3

2

（14分）

點評：本題主要考查利用導數求函數的極值，即圖象的交點與方程解之間的聯系，考查學生分析解決問題的能力．