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22．數列{a_n}滿足.

（Ⅰ）用數學歸納法證明：；

（Ⅱ）已知不等式，其中無理數e=2.71828….

22．

（Ⅰ）證明：（1）當n=2時，，不等式成立.

（2）假設當時不等式成立，即

那么. 這就是說，當時不等式成立.

根據（1）、（2）可知：成立.

（Ⅱ）證法一：

由遞推公式及（Ⅰ）的結論有

兩邊取對數并利用已知不等式得

故

上式從1到求和可得

即

（Ⅱ）證法二：

由數學歸納法易證成立，故

令

取對數并利用已知不等式得

上式從2到n求和得

因

故成立.

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•西城區(qū)二模）數列{a_n}滿足a₁=1，an+1=

n-λ

n+1

an，其中λ∈R，n=1，2，…．給出下列命題：
①?λ∈R，對于任意i∈N^*，a_i＞0；
②?λ∈R，對于任意i≥2（i∈N^*），a_ia_i+1＜0；
③?λ∈R，m∈N^*，當i＞m（i∈N^*）時總有a_i＜0．
其中正確的命題是

①③

．（寫出所有正確命題的序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數f（x）對任意的實數x₁，x₂滿足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2，數列{a_n}滿足a₁=0，且對任意n∈N^*，a_n=f（n），則f（2010）=（　　）

A．4012

B．4018

C．2009

D．2010

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科目：高中數學 來源： 題型：

數列{a_n}滿足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），
已知a₃=95．
（1）求a₁，a₂；
（2）是否存在一個實數t，使得bn=

(an+t)(n∈N*)，且{b_n}為等差數列？若存在，則求出t的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•綿陽一模）已知函數f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f（

）=-1，且當x，y∈（-1，1）時，恒有f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）．又數列{a_n}滿足，a₁=

，a_n+1=

2an

1+an2

．
（I ）證明：f（x）在（-1，1）上是奇函數
（ II ）求f（a_n）的表達式；
（III）設b_n=-

2f(an)

，T_n為數列{b_n}的前n項和，試問是否存在正整數m，n，使得

4Tn-m

4Tn+1-m

＜

成立？若存在，求出這樣的正整數；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）的定義域為R，f(x)=

f(-x)

，且f（0）=1，f（x）在R上為減函數；若數列{a_n}滿足a₁=f（0），且f(an+1)=

f(-2-an)

(n∈N*)；
（1）求{a_n}通項公式；
（2）當a＞1時，不等式

an+1

an+2

+…+

a2n

＞

(loga+1x-logax+1)對不小于2的正整數n恒成立，求x的取值范圍．

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