Question

數列{a_n}滿足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），
已知a₃=95．
（1）求a₁，a₂；
（2）是否存在一個實數t，使得bn=

1

3n

(an+t)(n∈N*)，且{b_n}為等差數列？若存在，則求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將已知的遞推關系中的n分別用2，3代替，列出方程組，求出a₁，a_2．
（2）求出b_n-b_n-1，令1+2t=0求出t的值，保證相鄰兩項的差為常數，解方程求出t的值．

解答：解：（1）n=2 時，a₂=3a₁+3²-1．
n=3 時，a₃=3a₂+3³-1=95，
∴a₂=23
∴23=3a₁+8
a₁=5．…6分
（2）當n≥2 時
b_n-b_n-1=

1

3n

(an+t)-

1

3n-1

(an-1+t)=

1

3n

(an+t-3an-1-3t）
=

1

3n

(3n-1-2t)=1-

1+2t

3n

要使{b_n} 為等差數列，則必需使，∴t=-

1

2

即存在t=-

1

2

，使{b_n} 為等差數列．…13分

點評：判斷或證明一個數列是等差數列或等比數列，常利用兩個特殊數列的定義即相鄰兩項的差或比是常數．