Question

已知二次函數(shù)f(x)=x²+ax（）．
（1）若函數(shù)y=f(sinx+cosx)()的最大值為，求f(x)的最小值；
（2）當(dāng)a>2時(shí),求證：f(sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x)1–a.其中x∈R,x¹kp且x¹kp(k∈Z).

Answer 1

（1）；（2）見解析.

解析試題分析：（1）先求的值域，再討論a的范圍，根據(jù)最大值，求最小值；（2）利用導(dǎo)數(shù)先求sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x的值域，再根據(jù)二次函數(shù)求結(jié)論.
試題解析：(1)令，，        2分
，當(dāng)a<0時(shí)，t=–2時(shí)，，
解得：
此時(shí)，．            2分
當(dāng)時(shí)，t=2時(shí)，，解得：
此時(shí)，
綜合上述，條件滿足時(shí)，的最小值為             2分
(2)x∈R，且
又，故設(shè)，則有
設(shè)(其中t∈(0，1))           2分
             2分
令，得
當(dāng)時(shí)，，所以在(0，)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以在(，1)單調(diào)遞增，
時(shí)取最小值等于
即有          3分
當(dāng)a>2時(shí)，的對(duì)稱軸，
上單調(diào)遞增，
         2分
考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；2、二次函數(shù)；3、導(dǎo)數(shù)與二次函數(shù)、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用.