Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，若AD與平面AA₁C₁C所成的角為α，則sinα=（　�。�

• A．

  3

  2

• B．

  2

  2

• C．

  10

  4

• D．

  6

  4

Answer 1

分析：要求AD與平面AA₁C₁C所成的角，關鍵是找出AD在平面AA₁C₁C內的射影，利用正三棱柱的性質可得到線面角，解直角三角形求出此角的正弦值．

解答：解：如圖，分別取C₁A₁、CA的中點E、F，連接B₁E與BF，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱
∴B₁E⊥平面CAA₁C₁，
過D作DH∥B₁E，則DH⊥平面CAA₁C₁，
連接AH，則∠DAH為所求的AD與平面AA₁C₁C所成的角
∵AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1
∴DH=B₁E=

3

2

，DA=

2

，
所以sin∠DAH=

DH

DA

=

6

4

；
故選D．

點評：本題以正三棱柱為載體，考查線面角，關鍵是找出AD在平面AA₁C₁C內的射影．