Question

給出下列四個命題：
①命題p：?x∈R，sin≤1，則￢p：?x∈R，sinx＜1，
②當a≥1時，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集為非空；
③當x＞1時，有lnx+

1

lnx

≥2
④設有五個函數.y=x，y=x

1

2

，y=x3，y=x2，y=2x，其中既是偶函數又在（0，+∞） 上是增函數的有2個．
其中真命題的序號是

③

．

Answer 1

分析：根據全稱命題的否定是特稱命題，是條件不變，否定結論，來判斷①是否正確；
舉例判斷②是否正確；
利用基本不等式求最值，來驗證③是否正確；
根據冪函數與二次函數的性質判斷④是否正確．

解答：解：對①，￢P：：?x∈R，sinx＞1，故①為假命題；
對②，當a=1時，∵|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|=1，∴不等式|x-4|+|x-3|＜1的解集為空集，故②為假命題；
對③，∵x＞1，∴lnx＞0，∴lnx+

1

lnx

≥2，當 lnx=1即x=10時取等號，故③是真命題；
對④，y=x；y=x

1

2

；y=x³；y=2^x都不是偶函數，只有y=x²既是偶函數又在（0，+∞） 上是增函數，故④是假命題．
故答案是③．

點評：本題借助考查命題的真假判斷，考查了全稱命題的否定、絕對值不等式、冪函數與指數函數的性質．利用基本不等式求最值時，要注意：一“正”；二“定”；三“相等”．