Question

數列{a_n}的前n項和S_n，當n≥1時，S_n+1是a_n+1與S_n+1+k的等比中項（k≠0）．
（1）求證：對于；
（2）設，求S_n；
（3）對n≥1，試證明：S₁S₂+S₂S₃+…+S_nS_n+1

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知S_n+1²=（S_n+1-S_n）（S_n+1+k），-S_n+1S_n+k（S_n+1-S_n）=0，等式兩邊同除
由此可知．
（2）由（1）知：，由此可知．
（3）S₁S₂+S₂S₃+…+S_nS_n+1===．
解答：證明：（1）由S_n+1²=a_n+1•（S_n+1+k）而a_n+1=S_n+1-S_n
∴S_n+1²=（S_n+1-S_n）（S_n+1+k）
∴-S_n+1S_n+k（S_n+1-S_n）=0
等式兩邊同除
∴；（4分）
（2）由（1）知：為首項，
以為公差的等差數列，
∴
∴；（8分）
（3）S₁S₂+S₂S₃+…+S_nS_n+1
=
=
=．（12分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．