Question

（本題滿分14分）定義在D上的函數，如果滿足；對任意，存在常數，都有成立，則稱是D上的有界函數，其中M稱為函數的上界。

已知函數，

（1）當時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；

（2）若函數在上是以3為上界函數值，求實數的取值范圍；

（3）若，求函數在上的上界T的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）當時，.

∵在上遞增，所以，

即在上的值域為.       …………………………………2分

故不存在常數，使成立.

所以函數在上不是有界函數.  ……………………………………4分

（2）∵函數在上是以3為上界的有界函數，

在上恒成立. ,

在上恒成立.

             ……………………………6分

設，，.

由,得.設，則

，，

所以在 上遞增，在上遞減.

在上的最大值為，在上的最小值為.

所以實數的取值范圍為.        …………………………………………… 9分

（3））方法一:，.

∵ m>0 ，,.

∴，

∵

∴.            …………………………………………11分

① 當，即時，

，此時；

② 當，即時，

，此時.

綜上所述，當時，的取值范圍是；當時，的取值范圍是    ………………………………………………………14分

方法二: .

令，因為，所以.

.

因為在上是減函數，所以.…………………11分

又因為函數在上的上界是，所以.

當時，，;

當時，，.……………………14分

 

 

 

 

 

【解析】略