Question

（本小題滿分12分）
一種計(jì)算裝置，有一數(shù)據(jù)入口A和一個(gè)運(yùn)算出口B ，按照某種運(yùn)算程序：①當(dāng)從A口輸入自然數(shù)1時(shí)，從B口得到 ，記為 ；②當(dāng)從A口輸入自然數(shù)時(shí)，在B口得到的結(jié)果是前一個(gè)結(jié)果的倍.
（1）當(dāng)從A口分別輸入自然數(shù)2 ，3 ，4 時(shí)，從B口分別得到什么數(shù)？試猜想的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論；
（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)的和。當(dāng)從B口得到399的倒數(shù)時(shí)，求此時(shí)對(duì)應(yīng)的的值.

Answer 1

（1）由已知得  
當(dāng)時(shí)，，  1分
同理可得        ……………（ 2分）
猜想   ……………（2分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明成立
①當(dāng)時(shí)，由上面的計(jì)算結(jié)果知成立  
②假設(shè)時(shí)，成立，即 ，
那么當(dāng)時(shí)，

即         
當(dāng)時(shí)，也成立                              
綜合①②所述，對(duì) ，成立。
……………（ 4分）
（2）由（1）可得
                                       ……………（2分）  

……………（2分）               

解析