Question

【題目】已知圓C：x2+y2﹣2x+4my+4m2=0，圓C1：x2+y2=25，以及直線l：3x﹣4y﹣15=0．
（1）求圓C1：x2+y2=25被直線l截得的弦長；
（2）當m為何值時，圓C與圓C1的公共弦平行于直線l；
（3）是否存在m，使得圓C被直線l所截的弦AB中點到點P（2，0）距離等于弦AB長度的一半？若存在，求圓C的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）因為圓的圓心O（0，0），半徑r=5，
所以，圓心O到直線l：3x﹣4y﹣15=0的距離d：，由勾股定理可知，
圓被直線l截得的弦長為．
（2）圓C與圓C1的公共弦方程為2x﹣4my﹣4m2﹣25=0，
因為該公共弦平行于直線3x﹣4y﹣15=0，
則≠，
解得：m=
經檢驗m=符合題意，故所求m=；
（3）假設這樣實數m存在．
設弦AB中點為M，由已知得|AB|=2|PM|，即|AM|=|BM|=|PM|
所以點P（2，0）在以弦AB為直徑的圓上．
設以弦AB為直徑的圓方程為：x2+y2﹣2x+4my+4m2+λ（3x﹣4y﹣15）=0，
則
消去λ得：100m2﹣144m+216=0，25m2﹣36m+54=0
因為△=362﹣4×25×54=36（36﹣25×6）＜0
所以方程25m2﹣36m+54=0無實數根，
所以，假設不成立，即這樣的圓不存在．
【解析】（1）根據直線和圓相交的弦長公式即可求圓C1：x2+y2=25被直線l截得的弦長；
（2）求出兩圓的公共弦結合直線平行的條件即可求出直線l；
（3）根據兩點間的距離公式結合弦長關系即可得到結論．