Question

已知直線x+y=a與圓x²+y²=4交于A、B兩不同點，O是坐標(biāo)原點，向量

OA

、

OB

滿足

OA

•

OB

=0，則實數(shù)a的值是（　　）

• A、2
• B、±2
• C、±

  6

• D、-2

Answer 1

分析：由題意可得△AOB為等腰直角三角形，故圓心到直線的距離等于

2 |a|

2

，故弦長AB=

2

a，把直線方程代入圓的方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得 x₁+x₂ 和x₁•x₂，由弦長公式可得

2

a=

1+1

×

(x1+ x2)2-4x1• x2

，
解方程求得 a 的值．

解答：解：由題意可得 OA⊥OB，△AOB為等腰直角三角形，故圓心（0，0）到直線x+y=a的距離等于

|0+0-a|

2

=

2 |a|

2

，
故弦長AB=

2

a． 把直線x+y=a代入圓x²+y²=4可得 2x²-2ax+a²-4=0，∴x₁+x₂=a，
x₁•x₂=

a2-4

2

，由弦長公式可得 

2

a=

1+1

×

(x1+ x2)2-4x1• x2

=

2

•

8-a2

，
∴a²=4，∴a=±2，故選  B．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，求出弦長AB=

2

a，是解題的關(guān)鍵．