Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求的單調區間；

（2）若函數在區間上無零點，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）的單調遞增區間是，單調遞減區間是；（2）2.

【解析】

（1）求出導數，即可求解單調區間；

（2）對分類討論，根據函數的單調性，判斷函數零點，得到的取值范圍.

（1），定義域.

，

令得，

令得，

因此，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是；

（2）

①當時，，函數在區間上單調遞減，且，

所以時，函數在區間上無零點；

②當時，令得，

令得，令得，

因此，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是.

（i）當即時，

函數的單調遞減區間是，所以，

所以時，函數在區間上無零點；

（ii）當即時，

函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是.

所以且，

所以時，函數在區間上有零點，不成立，

所以，

綜上實數的最大值是2.