Question

（2008•湖北模擬）如圖，直二面角E-AB-C中，四邊形ABEF是矩形，AB=2，AF=2

3

，△ABC是以A為直角頂點的等腰直角三角形，點P是線段BF上的一個動點．
（1）若PB=PF，求異面直線PC與AB所成的角的余弦值；
（2）若二面角P-AC-B的大小為30⁰，求證：FB⊥平面PAC．

Answer 1

分析：（1）分別取BE、AB的中點M、N，連接PM、MC，PN、NC，則PM=1，MB=

3

，BC=2

2

，可得MC=

11

，又因為PN=MB=

3

，NC=

5

，可得PC=2

2

．進而利用余弦定理求出答案．
（2）連接AP，根據題意可得：∠BAP即為所求二面角的平面角，即∠BAP=30°，進而根據三角形的有關知識可得BF⊥AP，再結合線面垂直可得BF⊥AC，進而根據線面垂直的判定定理證明線面垂直．

解答：解：（1）分別取BE、AB的中點M、N，
連接PM、MC，PN、NC，則PM=1，MB=

3

，BC=2

2

，
∴MC=

11

，而PN=MB=

3

，NC=

5

，
∴PC=2

2

，…（4分）
∴在△MPC中，由余弦定理可得：cos∠MPC=

1+8-11

4 2

=-

2

4

故所求PC與AB所成角的余弦值為

2

4

…（6分）
（2）連接AP，
∵二面角E-AB-C是直二面角，且AC⊥AB
∴∠BAP即為所求二面角的平面角，即∠BAP=30°…（8分）
在Rt△BAF中，tan∠ABF=

3

，
∴∠ABF=60°，
故BF⊥AP，…（10分）
又∵AC⊥面BF，
∴BF⊥AC，
又因為AP∩AC=A，并且AP?平面PAC，AC?平面PAC，
所以BF⊥平面PAC…（12分）

點評：本題考查利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，以及求異面直線所成的角，空間角解決的關鍵是做角，由圖形的結構及題設條件正確作出平面角來，是求角的關鍵．