Question

已知函數f(x)=loga

1-mx

x-1

(a＞0，a≠1)是奇函數．
（1）求m的值；
（2）求f（x）的反函數f^-1（x）；
（3）討論f（x）的單調性，并用定義證明；
（4）當f（x）定義域區間為（1，a-2）時，f（x）的值域為（1，+∞），求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的性質f（-x）+f（x）=0即可解得；
（2）由（1）可得：y=loga

x+1

x-1

，化為指數式，先用x表示y，再把x與y互換即可得出f^-1（x）．
（3）先判斷函數y=

x+1

x-1

在其定義域上的單調性，通過對a分類討論，再利用復合函數的單調性的判斷方法“同增異減”的法則即可得出f（x）的單調性；
（4）由于1＜x＜a-2，解得a＞3，由（3）可知f（x）在（1，a-2）上單調遞減．可得f（a-2）=1，解出即可．

解答：解：（1）∵函數f（x）是奇函數，
∴f(-x)+f(x)=loga

1+mx

-x-1

+loga

1-mx

x-1

=loga

1-m2x2

1-x2

=0，對定義域內的任意x恒成立，
∴

1-m2x2

1-x2

=1，即(m2-1)x2=0．
解得m=±1，經檢驗m=-1成立．
（2）由（1）可得：y=loga

x+1

x-1

，由

x+1

x-1

＞0，解得x＞1或x＜-1．
∴函數f（x）的定義域為{x|x＞1或x＜-1}．
由y=loga

x+1

x-1

，化為ay=

x+1

x-1

，解得x=

ay+1

ay-1

（y≠0），
∴f-1(x)=

ax+1

ax-1

(x≠0，a＞0，a≠1)．
（3）由（2）可知函數f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
設g(x)=

x+1

x-1

，任取x1＜x2＜-1或1＜x1＜x2，
∵g(x1)-g(x2)=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，
∴g（x₁）＞g（x₂），
∴函數g(x)=

x+1

x-1

在(-∞，-1)或(1，+∞)上單調遞減，
∴當a＞1時，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上單調遞減，
當0＜a＜1時，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上單調遞增．
（4）∵1＜x＜a-2，
∴a＞3，
由（3）可知f（x）在（1，a-2）上單調遞減．
∴f(a-2)=1，即loga

a-1

a-2

=1，化簡得a2-4a+1=0，
解得a=2+

3

．

點評：本題綜合考查了函數的奇偶性、單調性、復合函數的單調性的判斷方法“同增異減”的法則、分類討論、反函數的求法等基礎知識與基本方法，屬于難題．