Question

【題目】如圖，三棱柱中，側面底面，是邊長為2的正三角形，已知點滿足.

（1）求二面角的大小；

（2）求異面直線與的距離；

（3）直線上是否存在點，使平面？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在點，其坐標為，即恰好為點

【解析】

（1）建立空間直角坐標系，利用平面的法向量和平面的法向量，計算出二面角的余弦值，由此求得其大小.

（2）求得異面直線與的公垂線的方向向量，并由此計算出異面直線與的距離.

（3）根據求得點的坐標，設出點的坐標，根據、與平面的法向量垂直列方程組，解方程組求得點的坐標，由此判斷出存在點符合題意.

（1）側面底面，又均為正三角形，取得中點，連接，，

則底面，

故以為坐標原點，分別以為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標系，

則

設平面的法向量為

取，可得

又平面的一個法向量為

由圖知二面角為銳角，故二面角的大小為.

（2）異面直線與的公垂線的方向向量，則

易得，異面直線與的距離

（3），而

又，點的坐標為

假設存在點符合題意，則點的坐標可設為

平面為平面的一個法向量，

由，得.

又平面，

故存在點，使平面，其坐標為，即恰好為點.