Question

已知非零向量

a

，

b

，|

a

|=2|

b

|，若關(guān)于x的方程x²+|

a

|x+

a

•

b

=0有實(shí)根，則

a

與

b

的夾角的最小值為

π

3

．

Answer 1

分析：由已知中非零向量

a

，

b

，|

a

|=2|

b

|，若關(guān)于x的方程x²+|

a

|x+

a

•

b

=0有實(shí)根，我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于

a

與

b

的夾角θ的三角形不等式，解不等式可以確定cosθ的范圍，進(jìn)而得到

a

與

b

的夾角的最小值．

解答：解：∵關(guān)于x的方程x²+|

a

|x+

a

•

b

=0有實(shí)根，
∴|

a

|²-4

a

•

b

≥0
即|

a

|²-4|

a

|•|

b

|cosθ=|

a

|²-2|

a

|²cosθ≥0
∴cosθ≤

1

2

故

a

與

b

的夾角的最小值為

π

3

故答案為：

π

3

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，一元二次方程根的個(gè)數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，其中根據(jù)已知條件，構(gòu)造關(guān)于

a

與

b

的夾角θ的三角形不等式，是解答本題的關(guān)鍵．