Question

已知非零向量

a

與

b

的夾角為θ且向量

a

+

3b

與

7a

-

5b

垂直；

a

-

4b

與

7a

-

2b

垂直，求θ的值.

Answer 1

分析：根據所給的兩組向量垂直，得到兩組向量的數量積為0，把兩個式子進行比較得到等量關系，在求兩個向量夾角的時候，把所得的等量關系代入公式，約分化簡，得到余弦值，從而得到角．

解答：解：∵

a

+3

b

與7

a

-5

b

垂直，
∴(

a

+3

b

)•(7

a

-5

b

)=0，
∴7

a

2+16

a

•

b

-15

b

2=0，①
∵

a

-4

b

與7

a

-2

b

垂直，
∴7

a

2-30

a

• 

b

+8

b

2=0    ②
②-①得

b

2=2

a

•

b

③
把③代入②得，|

a

|=|

b

|，
∴cosθ=

a • b

| a || b |

=

1

2

，
∵θ∈[0，π]
∴θ=

π

3

點評：本題考查數量積的應用，數量積的主要應用：①求模長；②求夾角；③判垂直，本題是應用中的求夾角，解題過程中注意夾角本身的范圍，避免出錯．