Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓經過點M（-2，-1），離心率為。過點M作傾斜角
互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q。
（I）求橢圓C的方程；
（II）能否為直角？證明你的結論；
（III）證明：直線PQ的斜率為定值，并求這個定值。

Answer 1

解：
（Ⅰ）由題設，得＋＝1，                                                                    ①
且＝，                                                                              ②
由①、②解得a2＝6，b2＝3，
橢圓C的方程為＋＝1．………………………………………………………4分
（Ⅱ）記P(x1，y1)、Q(x2，y2)．
設直線MP的方程為y＋1＝k(x＋2)，與橢圓C的方程聯立，得
(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，
－2，x1是該方程的兩根，則－2x1＝，x1＝．
設直線MQ的方程為y＋1＝－k(x＋2)，
同理得x2＝．…………………………………………………………8分
因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，

因此直線PQ的斜率為定值．……………………………………………………12分

略