Question

如圖（1），在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，則AB²=BD•BC，該結論稱為射影定理．如圖（2），在三棱錐A-BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O為垂足，且O在△BCD內，類比射影定理，可以得到結論：

 

．

Answer 1

考點：類比推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：首先猜想出結論：(S△ABC)2=S△DBC•S△BCD，再進行證明：在△BCD內，延長DO交BC于E，連接AE，利用線面垂直的判定與性質可以證出AE⊥BC且DE⊥BC，從而AE、EO、ED分別是△ABC、△BCO、△BCD的邊BC的高線，然后在Rt△ADE中，利用已知條件的結論得到AE²=EO•ED，再變形整理得到(S△ABC)2=S△DBC•S△BCD．

解答： 解：結論：(S△ABC)2=S△DBC•S△BCD．
證明如下
在△BCD內，延長DO交BC于E，連接AE，
∵AD⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥AD，
同理可得：BC⊥AO
∵AD、AO是平面AOD內的相交直線，
∴BC⊥平面AOD
∵AE、DE?平面AOD
∴AE⊥BC且DE⊥BC
∵△AED中，EA⊥AD，AO⊥DE
∴根據題中的已知結論，得AE²=EO•ED
兩邊都乘以（

1

2

BC）²，得（

1

2

BC•AE）²=（

1

2

BC•EO）•（

1

2

BC•ED）
∵AE、EO、ED分別是△ABC、△BCO、△BCD的邊BC的高線
∴S_△ABC=

1

2

BC•AE，S_△BC0=

1

2

BC•EO，S_△BCD=

1

2

BC•ED
∴有(S△ABC)2=S△DBC•S△BCD．
故答案為：(S△ABC)2=S△DBC•S△BCD．

點評：本題以平面幾何中的射影定理為例，將其推廣到空間的一個正確的命題并加以證明，著重考查了類比推理和空間的線面垂直的判定與性質等知識點，屬于基礎題．