Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）當時，求的圖象在點處的切線方程；

（Ⅱ）設函數，討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據導數的幾何意義求出斜線的斜率，然后根據點斜式方程可得結果．（Ⅱ）根據函數的單調性和極值、最值得到函數圖象的大體形狀，在此基礎上判斷出零點的個數．

（Ⅰ）當時，，

所以，

所以．

又．

所以函數的圖象在點處的切線方程為，

即．

（Ⅱ）由題意得，定義域為，

則．

（i）當時，對于任意的恒成立，故在上單調遞減，

令，則，.

又，

所以在上有唯一零點．

（ii）當時，令，得.

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

故.

①若，，函數無零點；

②若，，函數有唯一零點；

③若，，

令，

則.

令，

則

.

所以函數在，上各有一零點，從而函數有兩個零點．

綜上可得：當時，函數沒有零點；當或時，函數有唯一零點；當時，函數有兩個零點．