Question

已知橢圓的離心率為，定點，橢圓短軸的端點是，，且.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過點且斜率不為的直線交橢圓于，兩點.試問軸上是否存在定點，使平分？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）解：由， 得.        ………2分
依題意△是等腰直角三角形，從而，故. …………4分
所以橢圓的方程是.                 ……5分
（Ⅱ）解：設，，直線的方程為.  
將直線的方程與橢圓的方程聯立，
消去得.          ……7分
所以，.             ……8分
若平分，則直線，的傾斜角互補，
所以.                                        …………9分
設，則有.
將，代入上式，
整理得，
所以.       ………………12分
將，代入上式，
整理得.               ……………13分
由于上式對任意實數都成立，所以.
綜上，存在定點，使平分.  …………14分

略