Question

已知定義在上的三個函數，，，且在處取得極值．
（1）求a的值及函數的單調區間．
（2）求證：當時，恒有成立．

Answer 1

（1），單調遞增區間是；單調遞減區間是．

試題分析：解題思路：（1）求導函數，利用求值，再利用導數求單調區間；（2）作差，構造函數，求最值，即證明不等式恒成立．規律總結：（1）求函數的單調區間的步驟：①求導函數；②解；③得到區間即為所求單調區間；（2）證明不等式恒成立問題，往往轉化為求函數的最值問題．
試題解析：（1），，，
∴．
而，，令得；令 得．∴函數單調遞增區間是；單調遞減區間是．
（2）∵，∴，∴，
欲證，只需要證明，即證明．
記，∴，
當時，，∴在上是增函數，
∴，∴，即，
∴，故結論成立．