Question

已知函數，（其中為常數）；

（Ⅰ）如果函數和有相同的極值點，求的值；

（Ⅱ）設，問是否存在，使得，若存在，請求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．

（Ⅲ）記函數，若函數有5個不同的零點，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）或（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（1）對函數f（x）求導可得，由，可得得或，而在處有極大值，從而可得a；（2）假設存在，即存在x∈(?1，)，使得f（x）-g（x）＞0，由x∈(?1，)，及a＞0，可得x-a＜0，則存在x∈(?1，)，使得，結合二次函數的性質求解；（3）據題意有f（x）-1=0有3個不同的實根，g（x）-1=0有2個不同的實根，且這5個實根兩兩不相等．g（x）-1=0有2個不同的實根，只需滿足⇒a＞1或a＜?3；有3個不同的實根，從而結合導數進行求解.

試題解析：（Ⅰ），則，

令，得或，而在處有極大值，∴，或；綜上：或． （3分）

（Ⅱ）假設存在，即存在，使得

，

當時，又，故，則存在，使得， （4分）

當即時，得，； （5分）

當即時，得， （6分）

無解；綜上：． （7分）

（Ⅲ）據題意有有3個不同的實根，有2個不同的實根，且這5個實根兩兩不相等．

（ⅰ）有2個不同的實根，只需滿足； （8分）

（ⅱ）有3個不同的實根，

當即時，在處取得極大值，而，不符合題意，舍； （9分）

當即時，不符合題意，舍；

當即時，在處取得極大值，；所以； （10分）

因為（ⅰ）（ⅱ）要同時滿足，故；（注：也對） （11分）

下證：這5個實根兩兩不相等，即證：不存在使得和同時成立；

若存在使得，

由，即，得，

當時，，不符合，舍去；

當時，既有 ①；

又由，即 ②； 聯立①②式，可得；

而當時，沒有5個不同的零點，故舍去，所以這5個實根兩兩不相等．

綜上，當時，函數有5個不同的零點． （14分）

考點： 1. 函數與方程的綜合運用；2.函數的零點；3.利用導數研究函數的極值．