Question

（09年東城區二模理）(14分)

已知函數＝（其中為常數，）．利用函數構造一個數列，方法如下：

對于給定的定義域中的，令，，…，，…

在上述構造過程中，如果（=1，2，3，…）在定義域中，那么構造數列的過程繼續下去；如果不在定義域中，那么構造數列的過程就停止.

　　（Ⅰ）當且時，求數列的通項公式；

    （Ⅱ）如果可以用上述方法構造出一個常數列，求的取值范圍；

　  （Ⅲ）是否存在實數，使得取定義域中的任一實數值作為，都可用上述方法構造出一個無窮數列　　？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解析：（Ⅰ）當時，，所以，．

兩邊取倒數，得，即．又,

所以數列{}是首項為，公差的等差數列．………………3分

故，所以，

　　　　　即數列的通項公式為,.    …………………4分

（Ⅱ）根據題意，只需當時，方程有解，     ………………5分

即方程  有不等于的解．

       將代入方程左邊，左邊為1，與右邊不相等．故方程不可能有解． ………………7分

        由 △=，得 或.

即實數a的取值范圍是．       …………………10分

(Ⅲ)假設存在實數，使得取定義域中的任一實數值作為，都可以用上述方法構造出一個無窮數列，那么根據題意可知，=在中無解，

即當時，方程無實數解．

由于不是方程的解，

所以對于任意，方程無實數解，

因此解得．

故即為所求的值．                 ……………14分