Question

已知函數f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1+kx），其中a＞0且a≠1．
（Ⅰ）當k=-2時，求函數h（x）=f（x）+g（x）的定義域；
（Ⅱ）若函數H（x）=f（x）-g（x）是奇函數（不為常函數），求實數k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當k=-2時，由函數h（x）的定義，可得 

1+x＞0 1-2x＞0

，解得x的范圍，可得函數h（x）的定義域．
（Ⅱ）由于函數H（x）=loga

1+x

1+kx

是奇函數，可得f（-x）=-f（x），即 loga

1-x

1-kx

=-loga

1+x

1+kx

，即 loga

1-x2

1-(kx)2

=0，由此求得k的值．

解答：解：（Ⅰ）當k=-2時，求函數h（x）=f（x）+g（x）=log_a（1+x）+log_a（1-2x）=log_a（1+x）（1-2x），
由

1+x＞0 1-2x＞0

，
解得-1＜x＜

1

2

，
故函數h（x）的定義域為（-1，

1

2

）．
（Ⅱ）由于函數H（x）=f（x）-g（x）=loga

1+x

1+kx

是奇函數，
故有f（-x）=-f（x），
即 loga

1-x

1-kx

=-loga

1+x

1+kx

，
∴loga

1-x

1-kx

+loga

1+x

1+kx

=loga

1-x2

1-(kx)2

=0，
∴k=±1．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質綜合應用，求函數的定義域、函數的奇偶性的判斷，屬于中檔題．