Question

【題目】設橢圓 1（a＞ ）的右焦點為F，右頂點為A，已知 ，其中O為原點，e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）設過點A的直線l與橢圓交于B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點M，與y軸交于點H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直線l的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由 ，

得 + = ，

即 = ，

∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．

∴橢圓方程為 ；

（2）

解：由已知設直線l的方程為y=k（x﹣2），（k≠0），

設B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），

∵∠MOA=∠MAO，

∴x0=1，

再設H（0，yH），

聯立 ，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．

△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．

由根與系數的關系得 ，

∴ ， ，

MH所在直線方程為y﹣k（x0﹣2）=﹣ （x﹣x0），

令x=0，得yH=（k+ ）x0﹣2k，

∵BF⊥HF，

∴ ，

即1﹣x1+y1yH=1﹣ [（k+ ）x0﹣2k]=0，

整理得： =1，即8k2=3．

∴k=﹣ 或k=

【解析】（1）由題意畫出圖形，把|OF|、|OA|、|FA|代入 + = ，轉化為關于a的方程，解方程求得a值，則橢圓方程可求；
（2）由已知設直線l的方程為y=k（x﹣2），（k≠0），聯立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系求得B的坐標，再寫出MH所在直線方程，求出H的坐標，由BF⊥HF，得 ，整理得到M的坐標與k的關系，由∠MOA=∠MAO，得到x0=1，轉化為關于k的等式求得k的值．
本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，體現了“整體運算”思想方法和“設而不求”的解題思想方法，考查運算能力，是難題．