Question

（本題滿分14分）
已知是函數(shù)的一個極值點，且函數(shù)的圖象在處的切線的斜率為2.
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式并求單調(diào)區(qū)間.（5分）
（Ⅱ）設(shè)，其中，問：對于任意的,方程在區(qū)間上是否存在實數(shù)根？若存在，請確定實數(shù)根的個數(shù).若不存在，請說明理由.（9分）

Answer 1

（I），單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；
（Ⅱ）對于任意的,方程在區(qū)間上均有實數(shù)根且當時,有唯一的實數(shù)解；當時,有兩個實數(shù)解。

試題分析：（Ⅰ）由x=0是函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）的一個極值點，f^′（0）=0，得到關(guān)于a，b的一個方程，函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線的斜率為2e²，f^′（2）=2e²；得到一個關(guān)于a，b的一個方程，解方程組求出a，b即可；
（Ⅱ）把求得的f′（x）代入g（x），方程g（x）=（m-1）²在區(qū)間（-2，m）上是否存在實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）在區(qū)間（-2，m）上的單調(diào)性、極值、最值問題．
解：（I）………………1分
由……………………2分
又，故………3分
令得或
令得………………4分
故，單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是……5分.
（Ⅱ）解:假設(shè)方程在區(qū)間上存在實數(shù)根
設(shè)是方程的實根，,………………6分
令,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程=0
在上有實根,并討論解的個數(shù)……………………7分
因為，,
所以 ①當時,,所以在上有解,且只有一解.…………………………9分
②當時,,但由于,
所以在上有解,且有兩解 ……………………………10分
③當時,,所以在上有且只有一解；
當時,,
所以在上也有且只有一解…………………………………12分
綜上, 對于任意的,方程在區(qū)間上均有實數(shù)根且當時,有唯一的實數(shù)解；當時,有兩個實數(shù)解……14分
點評：解決該試題的關(guān)鍵是方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，并能利用導數(shù)的幾何意義求解切線方程問題。