Question

已知函數f(x)=

sinπx

(x2+1)(x2-2x+2)

．（1）那么方程f（x）=0在區間[-2009，2009]上的根的個數是

202

；（2）對于下列命題：①函數f（x）是周期函數；②函數f（x）既有最大值又有最小值；③函數f（x）的定義域是R，且其圖象有對稱軸；④對于任意x∈（-1，0），函數f（x）的導函數f'（x）＜0．其中真命題的序號是

②③

．（填寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：觀察函數的解析式f(x)=

sinπx

(x2+1)(x2-2x+2)

它不是一個奇函數，由于分子的值從-1到1周期性變化，分母的值隨著x的值遠離原點，逐漸趨向于正無窮大，函數圖象逐漸靠近x軸，由這些性質對四個命題進行判斷選出正確選項

解答：解：（1）由于分母恒正，所以方程f（x）=0等價于sinπx=0，由于周期為T=2，故在區間[-2009，2009]上的根的個數是4019個；（2）①函數f（x）是周期函數不正確，因為分母隨著自變量的遠離原點，趨向于正窮大，所以函數圖象無限靠近于X軸，故不是周期函數；②函數f（x）既有最大值又有最小值，由①的判斷知，函數存在最大值與最小值，此命題正確；③函數f（x）的定義域是R，且其圖象有對稱軸，由函數解析式可以得出，其圖象周期性穿過X軸，由于分母不斷增大，圖象往兩邊延伸都無限靠近于X軸，其對稱軸是x=

1

2

，此命題正確；④對于任意x∈（-1，0），f′（x）＜0（f′（x）是函數f（x）的導函數），此命題不正確，由于自變量從-1變化到0分母變小，而分子由0減小到-1，再由-1增大到0，所以函數值的變化是選減小再增大，故導數恒小于0不成立．此命題不正確．綜上，②③正確
故答案為4019；②③

點評：考查了函數思想，轉化思想，屬中檔題，是個基礎題．還考查函數圖象的對稱變化和一元二次方程根的問題，以及函數奇偶性的判定方法等基礎知識，考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力，數形結合法是解答本類題的重要方法．本題函數解析式復雜，不利于判斷