Question

．．（本題14分）已知為常數，且，函數，（，為自然對數的底數）

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）求函數的單調區間；

（Ⅲ）當時，是否同時存在實數和（＜），使得對每一個，直線與曲線（）都有公共點？若存在，求出最小的實數和最大的實數；若不存在，說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由 得                    -------------2分

（Ⅱ）由（Ⅰ），∴ -------------3分

 ∵ 故：

當 時，由 得，由 得，

當 時，由 得，由 得，；

綜上，當 時，的遞增區間為，遞減區間為；----------7分

     當 時，的遞增區間為，遞減區間為。----------8分

（Ⅲ）當時，，

 

由（Ⅱ）可得，當在區間變化時，，隨的變化情況如下表：

			1
		－	0	＋
			極小值1		1

 

------------------------------------------11分

又，所以，函數（）的值域為，--------------12分

所以，若，則對每一個，直線與曲線（）都有公共點，且對每一個，直線與曲線（）都沒有公共點．

綜上，當時，存在最小的實數，最大的實數，使得對每一個，直線與曲線（）都有公共點．----------------------14分

 

【解析】略