Question

（本題14分）已知直線：y=kx+1與雙曲線C：2x²-y²=1的右支交于不同的兩點A、B。（1）求實數k的取值范圍；（2）是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F？若薦在，求出k的值。若不存在，說明理由。

Answer 1

(Ⅰ) -2<k<-   (Ⅱ)  

解析:

（1）將直線的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x²-y²=1后，整理得(k²-2)x²+2kx+2=0,      依題意，直線與雙曲線C的右支交于不同兩點，則

      ，解得k的取值范圍為-2<k<-.

(2)設A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則由①得………①，

假設存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F（c,0）,則由FA⊥FB得：（x₁-c）（x₂-c）+y₁y₂=0，即（x₁-c）（x₂-c）+(kx₁+1)(kx₂+1)=0，整理得：

（k²+1）x₁ x₂+（k-c）（x₁ +x₂）+c²+1=0…………………②,

把①式及c=代入②式化簡得：，解得或

（舍去）可知使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點。