Question

（2008•青浦區(qū)一模）定義函數(shù)f(x)=

sinx，sinx≥cosx cosx，sinx＜cosx

，
給出下列四個(gè)命題：
（1）該函數(shù)的值域?yàn)閇-1，1]；
（2）當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+

π

2

(k∈Z)時(shí)，該函數(shù)取得最大值；
（3）該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；
（4）當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

(k∈Z)時(shí)，f（x）＜0．
上述命題中正確的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：由題意可得：函數(shù) f(x)=

sinx，[2kπ+ π 4 ，2kπ+ 5π 4 ] cosx，[2kπ- 3π 4 ，2kπ+ π 4 ]

，再根據(jù)周期函數(shù)的定義結(jié)合其圖象可得函數(shù)的周期等性質(zhì)即可．

解答：解：由題意可得：函數(shù) f(x)=

sinx當(dāng)sinx≥cosx時(shí) cosx當(dāng)sinx＜cosx時(shí)

，即 f(x)=

sinx，[2kπ+ π 4 ，2kπ+ 5π 4 ] cosx，[2kπ- 3π 4 ，2kπ+ π 4 ]

，作出其圖象如圖，從圖象上可以看出：
（1）該函數(shù)的值域?yàn)閇-

2

2

，1]；故（1）錯(cuò)；
（2）當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+

π

2

(k∈Z)或x=2kπ（k∈Z）時(shí)，該函數(shù)取得最大值；幫（2）錯(cuò)；
（3）該函數(shù)是以2π為最小正周期的周期函數(shù)；（3）錯(cuò)；
（4）當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

(k∈Z)時(shí)，f（x）＜0，（4）正確．
故選A．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，如周期性，單調(diào)性，最值等性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．