Question

（2008•青浦區一模）設函數f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a(a為實常數）在區間[0，

π

2

]上的最小值為-4，那么a的值為

-4

．

Answer 1

分析：利用求導法則，求出函數f（x）的導函數，令導函數值為0，求出x的值，再由區間的兩端點0和

π

2

，表示出函數的最小值，根據函數的最小值為-4，即可得到a的值．

解答：解：求導得：f′（x）=-4sinxcosx+2

3

cos2x
=-2sin2x+2

3

cos2x
=4sin（

π

3

-2x），
令f′（x）=0，得到x=

π

6

，
∵f（0）=2+a，f（

π

2

）=a，f（

π

6

）=3+a，
∴函數的最小值為a，又函數區間[0，

π

2

]上的最小值為-4，
則a=-4．
故答案為：-4

點評：此題考查了利用導數研究閉區間上函數的最值，兩角和與差的正弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，要求學生熟練掌握求導法則，以及三角函數的恒等變換公式，綜合運用所學知識來解決問題．