Question

設f(x)＝ax²＋bx＋c，當|x|≤1時，總有|f(x)|≤1，求證：|f(2)|≤7.

Answer 1

證明：∵|x|≤1時，有|f(x)|≤1，

∴|f(0)|＝|c|≤1，|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1.

又∵f(1)＝a+b+c，f(－1)=a－b+c，∴|f(2)|＝|4a＋2b＋c|＝|3(a+b+c)+(a－b+c)－3c|＝|3f(1)+

f(－1)－3f(0)|≤|3f(1)|+|f(－1)|+|3f(0)|≤3+1+3=7.

∴|f(2)|≤7.