Question

設函數，．
（Ⅰ）若，求的極小值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結論下，是否存在實常數和，使得和？若存在，求出和的值．若不存在，說明理由．
（Ⅲ）設有兩個零點，且成等差數列，試探究值的符號．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）存在這樣的k和m，且;（Ⅲ）的符號為正.

試題分析：（Ⅰ）首先由,得到關于的兩個方程,從而求出,這樣就可得到 的表達式,根據它的特點可想到用導數的方法求出的極小值; （Ⅱ）由（Ⅰ）中所求的和,易得到它們有一個公共的點,且和在這個點處有相同的切線,這樣就可將問題轉化為證明和分別在這條切線的上方和下方,兩線的上下方可轉化為函數與0的大小,即證和成立,從而得到和的值; （Ⅲ）由已知易得,由零點的意義,可得到關于兩個方程,根據結構特征將兩式相減,得到關于的關系式,又對求導,進而得到,結合上面關系可化簡得:,針對特征將當作一個整體,可轉化為關于 的函數,對其求導分析得,恒成立.
試題解析：解：（Ⅰ）由，得，解得        2分
則=，
利用導數方法可得的極小值為  5分
（Ⅱ）因與有一個公共點，而函數在點的切線方程為，
下面驗證都成立即可               7分
由，得，知恒成立          8分
設，即，易知其在上遞增，在上遞減，
所以的最大值為，所以恒成立.
故存在這樣的k和m，且         10分
（Ⅲ）的符號為正. 理由為：因為有兩個零點，則有
，兩式相減得 12分
即，于是
 14分
①當時，令，則，且.
設，則，則在上為增函數．而，所以，即. 又因為，所以.
②當時，同理可得：.
綜上所述：的符號為正            16分