Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義f″（x）是y=f（x）的導函數y=f′（x）的導函數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．有的同學發現“任何三次函數都有‘拐點’；任何三次函數都有對稱中心；且對稱中心就是‘拐點’”．請你根據這一發現判斷下列命題：
（1）任意三次函數都關于點(-

b

3a

，f(-

b

3a

))對稱；
（2）存在三次函數，f'（x）=0有實數解x₀，（x₀，f（x₀））點為函數y=f（x）的對稱中心；
（3）存在三次函數有兩個及兩個以上的對稱中心；
（4）若函數g(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-

5

12

，則g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)=-1006
其中正確命題的序號為（　　）

A．（1）（2）（4）

B．（1）（2）（3）（4）

C．（1）（2）（3）

D．（2）（3）

Answer 1

（1）由題意，f′（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），∴f″（x）=6ax+2b（a≠0），
∴令f″（x）=0，可得x=-

b

3a

，∴任意三次函數都關于點(-

b

3a

，f(-

b

3a

))對稱，故（1）正確；
（2）由（1）知，x₀=-

b

3a

，代入f'（x）=0，可得3a×

b2

9a2

-2b×

b

3a

+c=0，∴b²=3ac，此時，存在三次函數，f'（x）=0有實數解x₀，（x₀，f（x₀））點為函數y=f（x）的對稱中心，故（2）正確；
（3）由（1）知，三次函數有且只有一個對稱中心，即不存在三次函數有兩個及兩個以上的對稱中心，故（3）不正確；
（4）∵g(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-

5

12

，∴g′（x）=x²-x
∴g″（x）=2x-1
令g″（x）=0，可得x=

1

2

，∴g（1）=-

1

2

∴g(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-

5

12

的對稱中心為(

1

2

，-

1

2

)
∴g（x）+g（1-x）=-1
∴g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)=-1006，即（4）正確，
故選A．