Question

（2010•廣東模擬）已知動點P的軌跡為曲線C，且動點P到兩個定點F₁（-1，0），F₂（1，0）的距離|

PF1

|，|

PF2

|的等差中項為

2

．
（1）求曲線C的方程；
（2）直線l過圓x²+y²+4y=0的圓心Q與曲線C交于M，N兩點，且

ON

•

OM

=0（O為坐標原點），求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意及根據橢圓定義，2a=|PF₁|+|PF₂|可求a，由已知焦點可求c，根據b=

a2-c2

可求b，進而可求橢圓方程
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可設l：y=kx-2，則y₁y₂=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4，聯立直線y=kx-2與橢圓方程為

x2

2

+y2=1，得x²+2（kx-2）²=2，根據方程的根與系數關系可求x₁+x₂，x₁x₂，由y=kx-2可得y₁y₂，由

ON

•

OM

=0⇒x1x2+y1y2=0，代入可求k，進而可求直線方程

解答：解：（1）由題意可得P的軌跡是以定點F₁（-1，0），F₂（1，0）為焦點的橢圓，且c=1
根據橢圓定義，得2a=|PF1|+|PF2|=2

2

，
∴a=

2

，b=1．
∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．                                           …（6分）
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由 

ON

•

OM

=0⇒x1x2+y1y2=0，
設l：y=kx-2，則y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-1
∴y₁y₂=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4
∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0（*）．
聯立直線y=kx-2與橢圓方程為

x2

2

+y2=1，得x²+2（kx-2）²=2
∴x1x2=

6

1+2k2

，x1+x2=

8k

1+2k2

代入（*）得k2=5⇒k=±

5

，
所求直線l為：

5

x-y-2=0或

5

x+y+2=0．…（14分）

點評：本題主要考查了利用橢圓的定義求解橢圓的方程，直線與橢圓相交的關系的應用，解決此類試題的一般思路是聯立直線與曲線方程，根據方程的根與系數的關系進行求解．