Question

【題目】已知向量 ， ，函數 ， .
（1）若 的最小值為-1，求實數 的值；
（2）是否存在實數 ，使函數 ， 有四個不同的零點？若存在，求出 的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

，

∴ ，

∵ ∴ ，

，令 ，

∴

∵ ，對稱軸為 ，

①當 即 時，當 時， ∴ 舍，

②當 即 時，當 時， ∴ ，

③當 即 是，當 時， ∴ 舍，

綜上， .

（2）解：令 ，即 ，

∴ 或 ，

∵ ， 有四個不同的零點，

∴方程 和 在 上共有四個不同的實根，

∴ ∴ ∴ .

【解析】(1)根據向量的數量積坐標運算公式結合兩角和差的正弦公式整理原式可得=cos2x，再結合向量坐標的線性運算求出的坐標，進而求出其模的值，然后得出f(x) 的代數式f ( x ) = cos 2 x 2 m cos x + 1 = 2 cos2 x 2 m cos x，令 t = cos x由角的取值范圍得出t的取值范圍t∈ [ , 1 ] ，根據二次函數在指定區間上的最值 ymin = 1 得出對稱軸 t = ,分類討論求解得出m的值。(2)利用(1)的結論求出 g(x) 的解析式求出cosx的值，令函數y=cosx再區間有四個不同的零點，利用函數與方程的關系，將實根轉化為函數與直線的交點問題求解即可。