Question

【題目】設a∈R，函數f（x）=|x2﹣2ax|，方程f（x）=ax+a的四個實數解滿足x1＜x2＜x3＜x4 ．
（1）求a的取值范圍；
（2）證明：f（x4）＞ +8 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：若a=0，則f（x）=x2，顯然直線y=ax+a與f（x）不可能有4個交點，不符合題意；

若a＜0，作出f（x）=|x2﹣2ax|的函數圖象，則直線y=ax+a與f（x）的圖象不可能有4個交點，不符合題意；

若a＞0，作出f（x）的函數圖象如圖所示：

當0＜x＜2a時，f（x）=﹣x2+2ax，

設直線y=k（x+1）與y=f（x）在（0，2a）上的函數圖象相切，切點為（x0，y0），

則 ，解得k=2a+2﹣2 ，

∴a＜2a+2﹣2 ，解得a＞4

（2）解：聯立方程組 ，得x2﹣3ax﹣a=0，解得x= ，

∴x4= ．

∴f（x4）=ax4+a= + +a，

令g（a）= + +a，則g（a）在（4，+∞）上單調遞增，

∴g（a）＞g（4）=28+8 ＞ +8 ．

∴f（x4）＞ +8

【解析】（1）根據f（x）的圖象與直線y=ax+a有4個交點可知a＞0，利用導數求出f（x）的過點（﹣1，0）的切線斜率，列出不等式得出a的范圍；（2）求方程組，用a表示出x4，得出f（x4）關于a的函數，利用單調性得出結論．