Question

已知函數f（x）=3ax-2x²+lnx，a為常數．
（1）當a=1時，求f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）在區間[1，2]上為單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數的導函數f′（x），并將其因式分解，便于解不等式，再由f′（x）＞0，得函數的單調增區間，由f′（x）＜0，得函數的單調減區間
（2）先求函數的導函數f′（x），將函數f（x）在區間[1，2]上為單調函數問題轉化為則f′（x）≥0，或f′（x）≤0在區間[1，2]上恒成立問題，進而將不等式參變分離，轉化為求函數最值問題即可

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=3x-2x²+lnx，則f（x）的定義域是（0，+∞）
∵f′(x)=3-4x+

1

x

=

-4x2+3x+1

x

=

-(4x+1)(x-1)

x

．
∴由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1；
∴f（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數．
（2）∵f′(x)=3a-4x+

1

x

．
若函數f（x）在區間[1，2]上為單調函數，
則f′（x）≥0，或f′（x）≤0在區間[1，2]上恒成立．
∴3a-4x+

1

x

≥0，或3a-4x+

1

x

≤0在區間[1，2]上恒成立．
即3a≥4x-

1

x

，或3a≤4x-

1

x

在區間[1，2]上恒成立．
設h（x）=4x-

1

x

，
∵h′（x）=4+

1

x2

＞0
∴h（x）=4x-

1

x

在區間[1，2]上是增函數．
h（x）_max=h（2）=

15

2

，h（x）_min=h（1）=3
∴只需3a≥

15

2

，或3a≤3．
∴a≥

5

2

，或a≤1．

點評：本題考查了利用導數求函數的單調區間的方法，已知函數的單調區間求參數范圍的方法，體現了導數在函數單調性中的重要應用；不等式恒成立問題的解法，轉化化歸的思想方法