Question

如圖，F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個焦點，A、B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為

1

2

，點C在x軸上，BC⊥BF，由B、C、F三點確定的圓M恰好與直線x+

3

y+3=0相切．
（I）求橢圓的方程；
（II）過F作一條與兩坐標軸都不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點，若在x軸上存在一點N（x₀，0），使得直線NP與直線NQ關于x軸對稱，求x₀的值．

Answer 1

分析：（I）設點F的坐標為（-c，0），根據離心率，可知點B的坐標為（0，

3

c），進而可求直線BF的斜率，根據BC⊥BF，進而求得直線BC的斜率．進而求得點C的坐標，可知圓M的圓心和半徑，又根據圓M恰好與直線x+

3

y+3=0相切．根據圓心到直線的距離為2c，進而可求得c，根據離心率可求得b，根據b²=a²-c²求得a，最后橢圓的標準方程可得．
（II）由題意可設直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0），設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）根據直線NP與直線NQ關于x軸對稱，可知k_NP=-k_NQ，根據點P，Q表示x₀，根據直線l與橢圓相交，聯立方程，根據韋達定理，可分別求得x₁+x₂和x₁x₂，進而可求得x₀

解答：解：（I）由題意可知F（-c，0）
∵e=

1

2

，∴b=

3

c，即B（0，

3

c)，∴kBF=

3 c

0-(-c)

=

3

又∵BC⊥BF，∴kBC=-

3

3

，
∴C（3c，0），∴圓M的圓心坐標為（c，0），半徑為2c由直線x+

3

y+3=0與圓M相切可得

|c+3|

1+( 3 )2

=2c，
∴c=1，∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

（II）由題意可設直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0），設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∵直線NP與直線NQ關于x軸對稱，
∴k_NP=-k_NQ，即

y1

x1-x0

=-

y2

x2-x0

∴

k(x1+1)

x1-x0

=-

k(x2+1)

x2-x0

，∴x0=

x1+x2+2x1x2

x1+x2+2

∵

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，∴3x²+4k²（x+1）²=12
∴（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
∴x0=

- 8k2 3+4k2 + 8k2-24 3+4k2

2- 8k2 3+4k2

=-4

點評：本題主要考查橢圓的標準方程的問題．要能較好的解決橢圓問題，必須熟練把握好橢圓方程中的離心率、長軸、短軸、標準線等性質．